Lição 2: por que simulamos o campeonato 10 mil vezes (e não 100 nem 1 milhão)

Para calcular a chance de um clube cair, o Errei de Novo simula o restante do campeonato 10 mil vezes. Por que 10 mil? Por que não 100, que seria mais rápido, ou 1 milhão, que seria "mais preciso"? Vamos por partes.

Por que simular, e não calcular direto?

Com 10 rodadas pela frente, faltam 100 jogos. Cada jogo pode terminar de 3 jeitos (vitória, empate, derrota). O número de combinações possíveis é 3 multiplicado por ele mesmo 100 vezes: um número com 48 dígitos. Nem todos os computadores do mundo juntos dariam conta de olhar uma por uma.

A saída é o método de Monte Carlo: em vez de olhar todas as combinações, sorteamos muitas delas, cada uma com a chance certa, e contamos.

Como é uma simulação

1. Para cada jogo que falta, o modelo sorteia um placar usando a distribuição de Poisson e a força de cada time.
2. Com todos os placares sorteados, monta a tabela final do campeonato.
3. Anota quem foi campeão, quem ficou no G-4, quem caiu.

Isso é uma simulação. Repetimos 10 mil vezes. Se o Grêmio caiu em 7.500 delas, a chance de rebaixamento é 75%.

O problema das poucas simulações

Pense numa moeda honesta: 50% de dar cara. Jogue 10 vezes e pode sair 7 caras (70%); por puro acaso. Jogue 10 mil vezes e vai sair algo bem perto de 5 mil.

Com as simulações é igual. Fizemos o teste de verdade: calculamos 5 vezes o risco de rebaixamento do Grêmio, mudando só o sorteio:

Com 100 simulações, o mesmo modelo diria "72%" num dia e "86%" no outro, sem nenhum jogo novo. Inaceitável.

A conta do erro

Existe uma fórmula simples para o tamanho dessa oscilação (a margem de erro, com 95% de confiança):

margem ≈ 1,96 × √( p × (1 − p) ÷ n )

em que p é a chance (por exemplo, 0,5) e n é o número de simulações.

Repare na regra de ouro: para cortar o erro pela metade, é preciso 4 vezes mais simulações. Para ganhar uma casa decimal, 100 vezes mais.

Então por que não 1 milhão?

Três motivos:

1. Precisão falsa. O sorteio deixaria de oscilar, mas o modelo em si tem incertezas bem maiores que 0,1 ponto: a força real de cada time, lesões, mudança de técnico. Dizer "75,13%" passa uma precisão que não existe. Com 10 mil, já mostramos o número arredondado sem que ele "pule" à toa.
2. Tempo. Um milhão de simulações levaria uns 20 segundos por cálculo. O site faz esse cálculo a cada jogo encerrado e também para os cenários de cada clube; ficaria lento.
3. Ganho que ninguém vê. Entre ±1 ponto (10 mil) e ±0,1 ponto (1 milhão), a porcentagem que aparece na tela, arredondada, é praticamente a mesma.

10 mil é o ponto de equilíbrio: erro de cerca de 1 ponto, cálculo em menos de meio segundo.

Um detalhe: o sorteio "fixo"

Para o número não mudar entre um acesso e outro, o site usa sempre a mesma "semente" do sorteio e guarda o último cálculo. Assim, a chance só muda quando entra um resultado novo, e nunca por acaso.

Exercício

Quantas simulações seriam necessárias para uma margem de cerca de ± 2 pontos numa chance de 50%?

Resposta: cerca de 2.500. Conta: 1,96 × √(0,5 × 0,5 ÷ 2.500) = 1,96 × 0,01 = 0,0196, ou seja, ± 2 pontos.